$\mathop {\text{Lim}}\limits_{n \to \infty } \,\,\sum\limits_{r = 1}^{4n} {\frac{{\sqrt n }}{{\sqrt r {{\left( {\,3\sqrt r + 4\sqrt n \,} \right)}^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{2 n} \frac{r}{\sqrt{n^2+r^2}}=$

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n^{3 / 2}}{n^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{n^{3 / 2}}+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2)^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3)^{3 / 2}}+\ldots+\frac{n^{3 / 2}}{(n+2(n-1))^{5 / 2}}-\frac{n^{1 / 2}}{(n+3(n-1))^{3 / 2}}\right]=$

$a \in R, |a| > 1$ के लिए,मान लीजिए $\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1+\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{n}}{n^{7/3} \left( \frac{1}{(an+1)^2} + \frac{1}{(an+2)^2} + \ldots + \frac{1}{(an+n)^2} \right)} \right) = 54$. तो $a$ का/के संभावित मान है/हैं:
$(1) 8$ $(2) -9$ $(3) -6$ $(4) 7$

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।